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Teoría de conjuntos


Teoría de conjuntos

Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su complemento A^\complement

La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos. El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg CantorGottlob Frege y Julius Wilhelm Richard Dedekind en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.

El concepto de conjunto es intuitivo y se podría definir como una «agrupación bien definida de objetos no repetidos y no ordenados»; así, se puede hablar de un conjunto de personas, ciudades, gafas, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto está bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto. El conjunto de los bolígrafos azules está bien definido, porque a la vista de un bolígrafo se puede saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no está bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre se podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es. En el siglo XIX, según Frege, los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC. Sin embargo, sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor.

Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestro pensamiento.

A propósito de la noción de conjunto, Dedekind dijo que se los imaginaba como un saco cerrado que contiene cosas… de las que no sabemos nada fuera de que existen y son totalmente determinadas. Algún tiempo después, Cantor dio a conocer su idea de conjunto: elevó su colosal figura, describió con el brazo erguido un gesto soberbio, y dijo con la mirada perdida: ‘Me imagino un conjunto como un abismo’.

Felix Bernstein, citado en las Obras Completas de Richard Dedekind

Notación

Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula:


   A, B, C, K,\ldots

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula:


   a, b, c, k, \ldots

De esta manera, si A \, es un conjunto, y a, b, c, d, e \, todos sus elementos, es común escribir:


   A =
   \{a, b, c, d, e\} \;

para definir a tal conjunto A \,. Esta notación empleada para definir al conjunto A \, se llama notación por extensión.

Para representar que un elemento x \, pertenece a un conjunto A \,, escribimos  x \in A  (léase “x \, en A \,“, “x \, pertenece a A \,” o bien “x \, es un elemento de A \,“). La negación de  x \in A  se escribe  x \notin A  (léase “x \,  no pertenece a  A \, “).

El conjunto universal, que representaremos como U \, (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U \, es el conjunto de los números enteros; si hablamos de ciudades, U \, es el conjunto de todas las ciudades. Todos los elementos posibles están en este conjunto:


   \forall x,\ x\in U

Este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o puede darse por supuesto según el contexto que estemos tratando.

Existe además, un único conjunto que no tiene elementos, al que se le llama conjunto vacío y que se denota por  \varnothing, esto es:  \varnothing = \{\}. La característica importante de este conjunto es que todos los elementos posibles no están contenidos en él:


   \forall x,\ x\notin \varnothing

Por otro lado, si todos los elementos x \, de un conjunto  A \,  satisfacen alguna propiedad y ésta puede ser expresada como una proposiciónp(x), con la indeterminada x, usamos la notación por comprensión, y se puede definir:


   A =
   \{ x \in U: \quad p(x) \}

Lo anterior se lee “A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)”. El símbolo “:” se lee “que cumplen la propiedad” o “tal que”; este símbolo puede ser remplazado por una barra \mid.


   A =
   \{ x \in U \mid \quad p(x) \}

Por ejemplo, el conjunto:


   A =
   \{1, 2, 3, 4\} \,

puede definirse por:


   A =
   \{n\in\mathbb N: 1\leq n\leq 4\}

donde el símbolo \mathbb{N} representa al conjunto de los números naturales.

Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y superconjuntos

 

gualdad de conjuntos

Dos conjuntos A y B se dicen iguales, lo que se escribe A = B si constan de los mismos elementos. Es decir, si y sólo si todo elemento deA está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:

A=B\equiv \forall x,\,x\in A\iff  x\in B

Subconjuntos y superconjuntos

Diagrama de Venn que muestra A\subseteq B

Un conjunto A se dice que es subconjunto de otro B, si cada elemento de A es también elemento de B, y se denota A\subseteq B. Es decir:

A\subseteq B\equiv\forall x,\,x\in A\Rightarrow x\in B

Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si AB, se cumpla A = B. Si, siendo A un subconjunto de BB tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto A, entonces decimos que ~A es un subconjunto propio de B, lo que se representa por A\subset B. Es decir

A\subset B\equiv A\subseteq B\text{ y }A\neq B

Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto “impropio” de sí mismo.

[mostrar]Demostración

Si A es un subconjunto de B, decimos también que B es un superconjunto de A, lo que se escribe B\supseteq A. Así pues

B\supseteq A\iff A\subseteq B

y también que:

B\supset A\iff A\subset B

significando B\supset A que B es superconjunto propio de A.

La relación “ser subconjunto” ⊆ es una relación de orden entre conjuntos puesto que es reflexiva, transitiva y antisimétrica.

Demostración
  • Puesto que todo conjunto verifica trivialmente AA, la relación es reflexiva.
  • Si AB y a su vez, BC, entonces todo elemento de A lo es de B y todo elemento de B lo es de C. Por tanto, todo elemento de A lo es de C y se tiene AC: la relación es transitiva.
  • Si AB y a su vez BA, entonces todo elemento de A lo es de B y todo elemento de B lo es de A. Si ambos conjuntos tienen los mismos elementos, es que son el mismo. Esto es, A=B y la relación es antisimétrica.

Operaciones con conjuntos

Unión ∪

Diagrama de Venn que ilustra A\cup B

Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto unión de los dos, que se denota como A\cup B el cual contiene todos los elementos de A y de B.

A\cup B\equiv\{x:x\in A\text{ o }x\in B\}

Esto siginifica que xAB si y sólo si xA ó xB.

De manera más general, para cada conjunto S existe otro conjunto denotado como \bigcup S de manera que sus elementos son todos los elementos x\in X de algún elemento de SX\in S.

\bigcup S\equiv\{x:\exists X\in S\text{ tal que }x\in X\}

De esta manera A\cup B es el caso especial donde S=\{A,B~\}.

Ejemplo. Si tenemos los conjuntos

~A= \{\triangle, \bigcirc, 6\}
~B= \{\star, 6, \dagger, \square\}
~C= \{\square, 14, \star, \clubsuit\}
~S=\{A,B,C\},

entonces:

A\cup B = \{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square\}
A\cup C = \{\triangle,\bigcirc,6,\square,14,\star,\clubsuit\}
\bigcup S=\{\triangle,\bigcirc,6,\star,\dagger,\square,14,\clubsuit\}

Intersección ∩

Diagrama de Venn que ilustra A\cap B

Los elementos comunes a A y B forman un conjunto denominado intersección de AB, representado por A\cap B . Es decir, A\cap B es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:

A\cap B \equiv \{x:x\in A\text{ y }x\in B\}

Esto siginifica que xAB si y sólo si xA y xB.

Puede definirse también la intersección de una familia de conjuntos, \bigcap S de forma similar al caso de la unión. Si dos conjuntos A y B son tales que A\cap B =\emptyset, entonces se dice que A y B son conjuntos disjuntos.

Ejemplo. Si tenemos los conjuntos

~A= \{2, 4, 6\}
~B= \{4, 6, 8, 10\}
~C= \{10, 14, 16, 26\} ,

entonces:

A\cap B = \{4,6\}
A\cap C = \emptyset

Partición

Dado un conjunto A, una familia de subconjuntos X={Ai} (con cada Ai⊆ A) se denomina una partición de A si la unión de todos ellos es A y son disjuntos dos a dos:

\bigcup X=A\text{ y }A_i\cap A_j=\emptyset\text{, si }i\neq j

Diferencia

Venn0100.svg
Venn0010.svg
Diagramas de Venn que muestran A − B y B − Arespectivamente.

Los elementos de un conjunto A que no se encuentran en otro conjunto B, forman otro conjunto llamado diferencia de A y B, representado por A\setminus B. Es decir:

A\setminus B\equiv\{x:x\in A\text{ y }x\notin B\}

Esto significa que xA\B si y sólo si xA y xB. También se denota por AB.

Ejemplo. Dados los conjuntos

A=\{0,\triangle,\star,1,\dagger,\bigcirc,3,5\}
B=\{\triangle,\square,0,7,\dagger\},

se tiene:

A\setminus B=\{\star,1,\bigcirc,3,5\}
B\setminus A=\{\square,7\}

[editar]Complemento

Diagrama de Venn que ilustra el complemento de AAC.

El complemento de un conjunto A es el conjunto de todos los elementos que no pertenecen a A.

A^\complement\equiv U\setminus A

El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares es el formado por los números impares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.

Ejemplo. Consideremos el universo de los números naturales {1,2,3,…}, y entendamos los puntos suspensivos “…” como “y todos los demás”. Sean los conjuntos:

A=\{5,6,7,\ldots\}
~B=\{1,3,5,7,...\} (los números impares).
~C=\{4,7,2,9\}

Se tiene entonces:

A^\complement=\{1,2,3,4\}
B^\complement=\{2,4,6,8,...\} (los números pares).
C^\complement=\{1,3,5,6,8,10,11,12,\ldots\}

Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que ilustra la diferencia simétrica de ABAΔB.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos:

A\Delta B\equiv\{x:\,\text{o bien }x\in A\text{ o bien }x\in B\}

También se denota por A\ominus B.

[editar]Álgebra de conjuntos

Sean A \,B \,, y C\, conjuntos cualesquiera y U \, un conjunto tal que A\subseteq UB\subseteq U y C\subseteq U entonces:

  1. A \cap A = A\,
  2. A \cup A = A
  3. A \cap \empty = \empty
  4. A \cup \empty = A Elemento neutro de la unión
  5. A \cap U = A Elemento neutro de la intersección
  6. A \cup U = U
  7. A \cap B =  B \cap  A Propiedad conmutativa de la intersección
  8. A \cup B =  B \cup A Propiedad conmutativa de la unión
  9. \left(A^\complement\right)^\complement = A Propiedad de Involución.
  10. (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) Propiedad asociativa de la intersección
  11. (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) Propiedad asociativa de la unión
  12. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) Propiedad distributiva de la intersección
  13.  A^\complement   \cup  B^\complement  = (A \cap B)^\complement  Ley de De Morgan
  14.  A^\complement   \cap  B^\complement  = (A \cup B)^\complement  Ley de De Morgan
  15. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) Propiedad distributiva de la unión
  16. A \subseteq B \iff A \cap B = A
  17. A \subseteq B \iff A \cup B = B
  18. A \subseteq B \iff B^\complement \subseteq A^\complement
  19. A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B
  20. C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)
  21. C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)
  22. C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C) \cup (C \setminus B)
  23. (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)
  24. (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)
  25. A \subseteq B \iff A \setminus B = \empty
  26. A \cap B = \empty \iff B \setminus A = B
  27. A \setminus A = \empty
  28. \empty \setminus A = \empty
  29. A \setminus \empty = A
  30. A \setminus B = A \cap B^\complement
  31. (B \setminus A)^\complement = A \cup B^\complement
  32. U \setminus A = A^\complement
  33. A \setminus U = \empty

Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que ilustra la diferencia simétrica de ABAΔB.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos:

A\Delta B\equiv\{x:\,\text{o bien }x\in A\text{ o bien }x\in B\}

También se denota por A\ominus B.

[editar]Álgebra de conjuntos

Sean A \,B \,, y C\, conjuntos cualesquiera y U \, un conjunto tal que A\subseteq UB\subseteq U y C\subseteq U entonces:

  1. A \cap A = A\,
  2. A \cup A = A
  3. A \cap \empty = \empty
  4. A \cup \empty = A Elemento neutro de la unión
  5. A \cap U = A Elemento neutro de la intersección
  6. A \cup U = U
  7. A \cap B =  B \cap  A Propiedad conmutativa de la intersección
  8. A \cup B =  B \cup A Propiedad conmutativa de la unión
  9. \left(A^\complement\right)^\complement = A Propiedad de Involución.
  10. (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) Propiedad asociativa de la intersección
  11. (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) Propiedad asociativa de la unión
  12. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) Propiedad distributiva de la intersección
  13.  A^\complement   \cup  B^\complement  = (A \cap B)^\complement  Ley de De Morgan
  14.  A^\complement   \cap  B^\complement  = (A \cup B)^\complement  Ley de De Morgan
  15. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) Propiedad distributiva de la unión
  16. A \subseteq B \iff A \cap B = A
  17. A \subseteq B \iff A \cup B = B
  18. A \subseteq B \iff B^\complement \subseteq A^\complement
  19. A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B
  20. C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)
  21. C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)
  22. C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C) \cup (C \setminus B)
  23. (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)
  24. (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)
  25. A \subseteq B \iff A \setminus B = \empty
  26. A \cap B = \empty \iff B \setminus A = B
  27. A \setminus A = \empty
  28. \empty \setminus A = \empty
  29. A \setminus \empty = A
  30. A \setminus B = A \cap B^\complement
  31. (B \setminus A)^\complement = A \cup B^\complement
  32. U \setminus A = A^\complement
  33. A \setminus U = \empty

Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que ilustra la diferencia simétrica de ABAΔB.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos:

A\Delta B\equiv\{x:\,\text{o bien }x\in A\text{ o bien }x\in B\}

También se denota por A\ominus B.

[editar]Álgebra de conjuntos

Sean A \,B \,, y C\, conjuntos cualesquiera y U \, un conjunto tal que A\subseteq UB\subseteq U y C\subseteq U entonces:

  1. A \cap A = A\,
  2. A \cup A = A
  3. A \cap \empty = \empty
  4. A \cup \empty = A Elemento neutro de la unión
  5. A \cap U = A Elemento neutro de la intersección
  6. A \cup U = U
  7. A \cap B =  B \cap  A Propiedad conmutativa de la intersección
  8. A \cup B =  B \cup A Propiedad conmutativa de la unión
  9. \left(A^\complement\right)^\complement = A Propiedad de Involución.
  10. (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) Propiedad asociativa de la intersección
  11. (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) Propiedad asociativa de la unión
  12. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) Propiedad distributiva de la intersección
  13.  A^\complement   \cup  B^\complement  = (A \cap B)^\complement  Ley de De Morgan
  14.  A^\complement   \cap  B^\complement  = (A \cup B)^\complement  Ley de De Morgan
  15. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) Propiedad distributiva de la unión
  16. A \subseteq B \iff A \cap B = A
  17. A \subseteq B \iff A \cup B = B
  18. A \subseteq B \iff B^\complement \subseteq A^\complement
  19. A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B
  20. C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)
  21. C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)
  22. C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C) \cup (C \setminus B)
  23. (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)
  24. (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)
  25. A \subseteq B \iff A \setminus B = \empty
  26. A \cap B = \empty \iff B \setminus A = B
  27. A \setminus A = \empty
  28. \empty \setminus A = \empty
  29. A \setminus \empty = A
  30. A \setminus B = A \cap B^\complement
  31. (B \setminus A)^\complement = A \cup B^\complement
  32. U \setminus A = A^\complement
  33. A \setminus U = \empty

Diferencia simétrica

Diagrama de Venn que ilustra la diferencia simétrica de ABAΔB.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B viene dada por los elementos que pertenecen a uno y sólo uno de los dos:

A\Delta B\equiv\{x:\,\text{o bien }x\in A\text{ o bien }x\in B\}

También se denota por A\ominus B.

[editar]Álgebra de conjuntos

Sean A \,B \,, y C\, conjuntos cualesquiera y U \, un conjunto tal que A\subseteq UB\subseteq U y C\subseteq U entonces:

  1. A \cap A = A\,
  2. A \cup A = A
  3. A \cap \empty = \empty
  4. A \cup \empty = A Elemento neutro de la unión
  5. A \cap U = A Elemento neutro de la intersección
  6. A \cup U = U
  7. A \cap B =  B \cap  A Propiedad conmutativa de la intersección
  8. A \cup B =  B \cup A Propiedad conmutativa de la unión
  9. \left(A^\complement\right)^\complement = A Propiedad de Involución.
  10. (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) Propiedad asociativa de la intersección
  11. (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) Propiedad asociativa de la unión
  12. A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) Propiedad distributiva de la intersección
  13.  A^\complement   \cup  B^\complement  = (A \cap B)^\complement  Ley de De Morgan
  14.  A^\complement   \cap  B^\complement  = (A \cup B)^\complement  Ley de De Morgan
  15. A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) Propiedad distributiva de la unión
  16. A \subseteq B \iff A \cap B = A
  17. A \subseteq B \iff A \cup B = B
  18. A \subseteq B \iff B^\complement \subseteq A^\complement
  19. A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B
  20. C \setminus (A \cap B) = (C \setminus A) \cup (C \setminus B)
  21. C \setminus (A \cup B) = (C \setminus A) \cap (C \setminus B)
  22. C \setminus (B \setminus A) = (A \cap C) \cup (C \setminus B)
  23. (B \setminus A) \cap C = (B \cap C) \setminus A = B \cap (C \setminus A)
  24. (B \setminus A) \cup C = (B \cup C) \setminus (A \setminus C)
  25. A \subseteq B \iff A \setminus B = \empty
  26. A \cap B = \empty \iff B \setminus A = B
  27. A \setminus A = \empty
  28. \empty \setminus A = \empty
  29. A \setminus \empty = A
  30. A \setminus B = A \cap B^\complement
  31. (B \setminus A)^\complement = A \cup B^\complement
  32. U \setminus A = A^\complement
  33. A \setminus U = \empty

Producto cartesiano de conjuntos

Artículo principal: Producto cartesiano

Un par ordenado de números  (x, y) \, es tal si los pares  (x, y ) \,  y  (y, x) \,  son uno mismo si y sólo si x = y \, .

Dados dos conjuntos A \,  y B \,, definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de A \, y B \, (en ese orden), representado por  A \times B , como el conjunto


   A \times B =
   \{ (x,y)\mid \quad
   x \in A 
   \quad \wedge \quad
   y \in B \}
Ejemplo
Sean:

   S =
   \{1, 2, 3\} \;

   R =
   \{a, b, c\} \;
.

El producto de S por R será:


   S\times R =
    \{(1,a), (1,b), (1,c),
      (2,a), (2,b), (2,c),
      (3,a), (3,b), (3,c)\}

Y el producto se R por S :


   R \times S =
    \{ (a,1), (a,2), (a,3),
       (b,1), (b,2), (b,3),
       (c,1), (c,2), (c,3) \}

Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), Resulta que como norma general:


   A \times B \ne
   B \times A

Y solo se da el caso:


   A \times B =
   B \times A
   \qquad \Leftrightarrow \qquad
   A = B

Cuantificadores

Los cuantificadores sirven para indicar cuantos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad. Tales cuantificadores son

  • El cuantificador universal, representado por \forall. Este cuantificador se emplea para afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con determinada propiedad. Se escribe
\forall_{x\in A}\quad p(x)
  • El cuantificador existencial se usa para indicar que al menos un elemento de un conjunto ~A cumple con una propiedad. Se escribe
\exist_{x\in A}\quad p(x).

Se definen

\neg(\forall_{x\in A}\quad p(x))\iff\exist_{x\in A}\quad\neg p(x)
\neg(\exist_{x\in A}\quad p(x))\iff\forall_{x\in A}\quad\neg p(x)

Funciones

Artículo principal: Función matemática

Sean ~A y ~B dos conjuntos. Un subconjunto f\subset A\times B, se dice aplicación o función de ~A en ~B, lo que se representa por

f:A\rightarrow B

siempre que se verifique

  • \forall_{x\in A}\exist_{y\in B}\quad (x,y)\in f
  • (x,y)\in f \wedge (x,y^\prime)\in f \Rightarrow y=y^\prime

Si (x,y)\in f, el elemento ~y se dice imagen de ~x por ~f, y el elemento ~x se llama antecedente de ~y por ~f.

Sea una función f:A\rightarrow B. Se emplea la notación ~f(x) para representar a la imagen de x\in A por ~f, y por tanto f(x)\in B.

Sean las funciones f:X\rightarrow f(X)   y   g:Y\rightarrow g(Y). Se define

f\circ g:\quad x\rightarrow f(g(x)),

y se dice que f\circ g es el producto de composición de las funciones ~f y ~g.
Sean f:A\rightarrow Bg:B\rightarrow C y h:C\rightarrow D tres funciones. Entonces h(g\circ f)=(h\circ g)\circ f .

Para demostrar la igualdad tendremos que probar que tienen el mismo dominio, el mismo codominio, y que sus imágenes son iguales:

\operatorname{Dom}[h \circ(g \circ f)]=\operatorname{Dom}(g \circ f)=\operatorname{Dom}(f)=A

\operatorname{Dom}[(h \circ g) \circ f]=\operatorname{Dom}(f)=A

Hemos demostrado que los dominios son iguales.

\operatorname{Codom}[h \circ(g \circ f)]=\operatorname{Codom}(h)=D

\operatorname{codom}[(h \circ g) \circ f]=\operatorname{Codom}(h \circ g)=\operatorname{Codom}(h)=D

También vemos que tienen el mismo codominio, sólo nos queda ver que [h(g\circ f)](a)=[(h\circ g)\circ f](a)\   \forall a \in A :

[h \circ (g \circ f)](a)=h[(g \circ f)(a)]=h[g(f(a))]

[(h \circ g) \circ f](a)=(h \circ g)( f(a))=h[g(f(a))]

Por lo tanto queda probado que:

h(g\circ f)=(h\circ g)\circ f

Teoría axiomática de conjuntos

La teoría de conjuntos que se discute en este artículo es hasta cierto punto elemental, y se describe de manera informal, apelando a la intuición para determinar como se comportan los objetos llamados “conjuntos”. Este manera de razonar no está exenta de problemas, puesto que es sencillo encontrarse con paradojas como la famosa paradoja de Russell.

La teoría de conjuntos axiomática se desarrolla para evitar estas paradojas y poder estudiar en mayor profundidad las consecuencias de la teoría. En ella, los axiomas que verifican los conjuntos se escogen cuidadosamente. Ejemplos conocidos son:

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